M. Künzer Abgabe bis Fr 29.06.18

Algebraische Zahlentheorie, SS 18

Blatt 10

Aufgabe 38 (4 Punkte) Sei A ein Dedekindbereich. Sei K := Quot(A) perfekt. Seien L′|K und L′′|K linear disjunkte endliche Körpererweiterungen. Sei L eine gemeinsame Körpererweiterung von L′ und L′′, welche ein Kompositum von L′|K und L′′|K ist. Wir schreiben ℓ′ := [L′ : K] und ℓ′′ := [L′′ : K]. Sei 𝔡_{L′|K,A} + 𝔡_{L′′|K,A} = (1). Man zeige 𝔡_{L|K,A} = 𝔡_{L′|K, A}^{ℓ′′} · 𝔡_{L′′|K,A}^{ℓ′}.

Aufgabe 39 (4+4+2 Punkte) Sei K := Q, sei L := Q(\sqrt{13}), sei L′ := Q(\sqrt{3}) und sei M := Q(\sqrt{3}, \sqrt{13}). Cf. Aufgabe 16.(2). Sei A := Z, sei B := Γ_{L}(A), sei B′ := Γ_{L}(A) und sei C := Γ_{M}(A).

(1) Man bestimme 𝔇_{L|K,A}, 𝔇_{M|L,B} und damit 𝔇_{M|K,A}.

(2) Man bestimme 𝔇_{L′|K,A}, 𝔇_{M|L′,B} und damit 𝔇_{M|K,A} erneut.

(3) Man bestätige die Aussage von Lemma 96 für L|K, L′|K und M|K durch Vergleich der Resultate hier mit den Resultaten aus Aufgabe 16.(2).

Aufgabe 40 (8 Punkte) Sei V ein euklidischer Raum. Zu zeigen ist folgendes. Für eine Teilmenge X ⊆ V sind die folgenden Aussagen (1, 2) äquivalent. Für eine additive Untergruppe X ⊆ V sind die folgenden Aussagen (1, 2, 3, 4) äquivalent.

(1) Es ist X eine diskrete Teilmenge von V.

(2) Für alle v ∈ V gibt es ein ε ∈ R_{>0} mit (B_{ε}(v) ∖ {v}) ∩ X = ∅.

(3) Es gibt ein ε ∈ R_{>0} mit B_{ε}(0) ∩ X = {0}.

(4) Es gibt ein r ∈ R_{>0} mit B_{r}(0) ∩ X endlich.

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