M. Künzer Abgabe bis Fr 20.04.18

Algebraische Zahlentheorie, SS 18

Blatt 1

Aufgabe 1 (1+3 Punkte) Sei R ein kommutativer Ring.

(1) Man finde einen surjektiven Ringmorphismus S \overline{}R mit S Integritätsbereich.

(2) Wir setzen die Cramersche Regel über Körpern als bekannt voraus. Man leite daraus die Cramersche Regel über R ab.

Hinweis: Ringmorphismen wie in (1) sind mit der Cramerschen Regel verträglich. Jeder Integritätsbereich ist Teilring eines Körpers.

Aufgabe 2 (2+3+3+3+2+2+3+2 Punkte) Sei R ein Hauptidealbereich. Sei K := Quot(R). Man zeige.

(1) Sei M eine nichtleere Menge von Idealen von R. Es gibt in M ein maximales Element.

(2) Ein Element in R^{×} ist genau dann irreduzibel, wenn es prim ist.

(3) Sei x ∈ R^{×} gegeben. Es gibt ein n ⩾ 0 und eine Faktorisierung (x) = (p_{1})(p_{2}) ⋯ (p_{n}) mit p_{i} prim für alle i ∈ [1, n] ; kurz, x hat eine Primfaktorzerlegung. Sind (x) = (p_{1})(p_{2}) ⋯ (p_{n}) = (p′_{1})(p′_{2}) ⋯ (p′_{n′}) zwei Primfaktorzerlegungen, dann ist n = n′, und es gibt ein σ ∈ S_{n} mit (p′_{i}) = (p_{σ(i)}) für i ∈ [1, n].

(4) Sei P die Menge der Primideale von R ungleich (0).

Sei p ∈ R^{×} prim. Definiere die Bewertung bei p durch v_{p} : K^{×} \overline{}Z derart, daß für x ∈ K^{×} sich x = e ∏_{(p)∈P} p^{v_{p}(x)} ergibt, wobei e ∈ U(R) und wobei { (p) ∈ P : v_{p}(x) ≠ 0 } endlich ist. Wir setzen noch v_{p}(0) := ∞, mit den Regeln k ⩽ ∞ und k + ∞ = ∞ für k ∈ Z ∪ {∞}.

(5) Seien x, y ∈ K. Es ist v_{p}(xy) = v_{p}(x) + v_{p}(y) und v_{p}(x + y) ⩾ min{v_{p}(x), v_{p}(y)}. In letzerem gilt Gleichheit, falls v_{p}(x) ≠ v_{p}(y).

(6) Sei p ∈ R^{×} prim. Ein Element z ∈ K heiße p-ganz, falls v_{p}(z) ⩾ 0.

(i) Die p-ganzen Elemente von K bilden einen Teilring. (ii) Es ist genau dann z ∈ R, wenn z ein q-ganzes Element ist für alle q ∈ R^{×} prim.

(7) Gegeben f(X) ∈ R[X] normiert. Ist f(X) = g(X)h(X) mit g(X), h(X) ∈ K[X] normiert, dann sind g(X), h(X) ∈ R[X].

(8) Sei A ein Hauptidealbereich. Sei K := Quot(A). Sei L|K eine endliche Körpererweiterung. Sei B := Γ_{L}(A). Sei y ∈ L gegeben. Es ist y ∈ B genau dann, wenn μ_{y,K}(X) ∈ A[X] liegt.

Aufgabe 3 (6 Punkte) Sei d ∈ Z ∖ {0, 1} quadratfrei, d.h. sei v_{p}(d) ∈ {0, 1} für alle p ∈ Z^{×} prim. Sei K := Q(\sqrt{d}). Man bestimme O_{K} . Was ergibt sich speziell im Falle K = Q(i) ? Im Falle K = Q(\sqrt{5}) ? Im Falle K = Q(ζ_{3}) ?

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