Lösung.

Eine Laplacetransformation nach $ \mbox{$t$}$ ergibt mit $ \mbox{$U(x,s) := \int_0^\infty \exp(-st) u(x,t)\, dt$}$ die transformierte Gleichung

$ \mbox{$\displaystyle (sU - u(x,0)) + (s^2 U - s u(x,0) - u_t(x,0)) \; =\; s(s+1)U - x \;\overset{!}{=}\; U_x\; . $}$
Die zugehörige homogene Gleichung wird von $ \mbox{$U = c\cdot \exp(x s (s+1))$}$ gelöst. Eine Partikulärlösung der inhomogenen Gleichung ist durch $ \mbox{$U = \frac{x}{s(s+1)} + \frac{1}{s^2(s+1)^2}$}$ gegeben, wie man direkt oder mittels Variation der Konstanten erhält. Somit wird die allgemeine Lösung zu
$ \mbox{$\displaystyle U \; =\; C(s)\exp(x s (s+1)) + \frac{x}{s(s+1)} + \frac{1}{s^2(s+1)^2}\; . $}$
wobei $ \mbox{$C(s)$}$ eine von $ \mbox{$x$}$ unabhängige Funktion bezeichne (die man durch die Randbedingungen für die Rücktransformierte bestimmen könnte).

Für $ \mbox{$C(s) = 0$}$ erhalten wir $ \mbox{$U = (x-2)(\frac{1}{s} - \frac{1}{s+1}) + \frac{1}{s^2} + \frac{1}{(s+1)^2}$}$, und folglich

$ \mbox{$\displaystyle u \; =\; (x-2)(1 - \exp(-t)) + t(1 + \exp(-t))\; . $}$
Nun ist in der Tat $ \mbox{$u(x,0) = 0$}$ und $ \mbox{$u_t(x,0) = x$}$. Die Ausgangsdifferentialgleichung ist nach Konstruktion erfüllt. Nichtsdestoweniger empfiehlt sich eine Probe.