Sei
. Für eine Funktion
mit
wird durch
die Laplace-Transformierte von
definiert. Etwas weiter gefaßt ist die komplexe Laplace-Transformierte durch
definiert. Wir schreiben auch
, d.h. wir zeichnen
als Variable aus.
Seien
aus
, so schreiben wir auch
,
.
Das Faltungsprodukt von
und
ist als
erklärt.
Die Laplace-Transformation hat folgende Eigenschaften.
-
und
existieren für
. Alle folgenden Aussagen beziehen sich auf diesen Bereich.
-
für
.
-
für
.
-
für
, wobei
auf
mit
übereinstimme, und sonst den Wert
annehme.
-
und
.
-
.
- Falls
für
einen Grenzwert annimmt, so ist
, falls existent.
-
für
.
-
.
Die Umkehrung der Laplace Transformation, d.h. die Bestimmung von
mit
bei gegebenem
, ist unter geeigneten Voraussetzungen als
bestimmbar, mit einem reellen, beliebig gewählten
. Das Integral
ist hierbei so zu verstehen, daß der
Grenzwert über die Integrationswege
für
zu bilden ist.
In der Praxis wird man angesichts dieses Ausdrucks eher versuchen, zunächst mit Hilfe obiger Eigenschaften die Laplace-Transformierte
so
umzuformen, daß
unter Zuhilfenahme einer Tabelle gefunden werden kann.
Die Laplace-Transformation eignet sich zum Lösen von Differentialgleichungen, da sie Differentialoperationen in algebraische Operationen überführt, namentlich
Kann die transformierte Gleichung gelöst werden, so nach Rücktransformation auch die ursprüngliche.