Aufgabe.

Sei $ \mbox{$f(t) = t^k$}$ mit $ \mbox{$k\geq 0$}$, sei $ \mbox{$\sigma > 0$}$. Verifiziere, daß

$ \mbox{$\displaystyle f(t)\; =\; \frac{1}{2\pi\mathrm{i}} \int_{\sigma - \math... ...gma + \mathrm{i}\infty} \exp(z t){\operatorname{\mathcal{L}}}(f)(z)\, dz\; . $}$
Das Integral $ \mbox{$\int_{\sigma - \mathrm{i}\infty}^{\sigma + \mathrm{i}\infty}$}$ ist hierbei so zu verstehen, daß der Grenzwert über die Integrationswege $ \mbox{$\gamma_r: [-1,1]\to\mathbb{C}: x\mapsto \sigma + \mathrm{i}rx$}$ für $ \mbox{$r\to\infty$}$ zu bilden ist.