Lösung.

Es ist $ \mbox{$\Delta(x,y) = -\det\left(\begin{matrix}y^2 & xy \\ xy & x^2\end{matrix}\right) = 0$}$ für alle $ \mbox{$x,y\in\mathbb{R}$}$, die Gleichung also auf $ \mbox{$\mathbb{R}^2$}$ parabolisch. Die charakteristische Gleichung

$ \mbox{$\displaystyle y^2 z_x + xy z_y = 0 $}$
wird durch $ \mbox{$\xi(x,y) = y^2 - x^2$}$ gelöst, wobei $ \mbox{$\xi_y$}$ in der Tat nicht identisch verschwindet. Mit $ \mbox{$\eta(x,y) = x$}$ erhalten wir für $ \mbox{$y > 0$}$ die Umkehrtransformation
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} x(\xi,\eta) & = & \eta \\ y(\xi,\eta) & = & \sqrt{\xi + \eta^2}\; . \\ \end{array} $}$
Damit erhält man nach Division durch den Koeffizienten $ \mbox{$\xi+\eta^2$}$ von $ \mbox{$\tilde u_{\eta\eta}$}$
$ \mbox{$\displaystyle \tilde u_{\eta\eta} - 2 \tilde u_\xi + \frac{1}{\xi+\eta^2}\left(\eta\tilde u_{\eta} + \tilde u\right) \; =\; 0\; . $}$