Sei
. Eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung der Form
heißt quasilinear.
Eine solche quasilineare Gleichung wird auf eine lineare Gleichung zurückgeführt, indem die abhängige Variable zu einer zusätzlichen unabhängigen Variablen gemacht wird.
Wir geben uns hier mit einer impliziten Lösung
zufrieden. Sei also
als Funktion angesetzt, die nach Einsetzen einer Lösung
konstant in
wird. Die Ableitung nach
gibt dann notwendigerweise
Umgekehrt, ist diese Gleichung für alle
erfüllt, so ist
konstant in
. Und dies wollen wir als implizite Lösung unserer quasilinearen Gleichung gelten lassen.
Einsetzen in die Ausgangsgleichung liefert
Dies ist eine lineare Rumpfgleichung erster Ordnung für
, wie oben bereits behandelt. Die allgemeine Lösung ist von der Gestalt
wobei
ein unabhängiges System von Partikulärlösungen darstellt, und
eine beliebige Funktion ist - wobei allerdings
darauf zu achten ist, daß
nicht identisch verschwindet, vgl. Herleitung.
Unabhängigkeit ist hier im Sinne einer nicht identisch
verschwindenden Jacobideterminante zu verstehen.