Aufgabe.

Sei die Verkehrsdichte auf einer Straße durch $ \mbox{$u(x,t)$}$ gegeben, d.h. $ \mbox{$u(x,t)$}$ ist die Zahl der Autos an der Stelle $ \mbox{$x$}$ zum Zeitpunkt $ \mbox{$t$}$ zwischen $ \mbox{$x$}$ und $ \mbox{$x + dx$}$, geteilt durch $ \mbox{$dx$}$.

Sei der Verkehrsfluß durch $ \mbox{$F(x,t)$}$ beschrieben. Der Wert $ \mbox{$F(x,t)$}$ ist hierbei die Zahl der Autos, die die Stelle $ \mbox{$x$}$ im Zeitraum von $ \mbox{$t$}$ bis $ \mbox{$t + dt$}$ in positiver Richtung passieren.

Betrachten wir das Streckenelement $ \mbox{$[x,x+dx]$}$ zum Zeitpunkt $ \mbox{$t$}$. Fluß und Dichte hängen über

$ \mbox{$\displaystyle (u(x,t+dt) - u(x,t))dx\; =\; - (F(u(x+dx,t)) - F(u(x,t))) dt $}$
zusammen, da die Änderung der Verkehrsdichte der Zahl der in das Streckenelement bei $ \mbox{$x$}$ einfahrenden Autos, minus der bei $ \mbox{$x + dx$}$ ausfahrenden Autos gegeben ist. Also
$ \mbox{$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial F(u)}{\partial x} \; = \; 0\; . $}$

(i)
Sei der Verkehrsfluß $ \mbox{$F(x,t)$}$ nur von $ \mbox{$u$}$ abhängig - die Geschwindigkeit eines Autos ist durch den Abstand zum Vordermann bestimmt. Wir setzen also $ \mbox{$F(x,t) = F(u(x,t)) = 1 - u$}$ an. D.h. ist die Verkehrsdichte Null, so fahren alle Autos mit Geschwindigkeit $ \mbox{$1$}$, ist die Verkehrsdichte auf $ \mbox{$1$}$ angeschwollen, so kommt der Verkehr zum Erliegen. Ist die Verkehrsdichte $ \mbox{$>1$}$, so kommt es zu Auffahrunfällen.

(ii)
Sei nun der Verkehrfluß noch von der sich den Orten $ \mbox{$x = 2\pi\mathbb{Z}$}$ befindlichen Polizeistationen abhängig - je näher an $ \mbox{$x = 0$}$, desto mehr wird auf den zu geringen Abstand zum Vordermann mit Geschwindigkeitsreduktion reagiert. Sei demgemäß $ \mbox{$F(x,t) = F(u(x,t)) = 1 - (1 + a\cos(x)) u$}$ mit $ \mbox{$a\in [0,1)$}$.

Gib die allgemeine Lösung der Differentialgleichung in den Fällen (i, ii) an.

Sei nun als Randbedingung $ \mbox{$u(x,0) = 1/2$}$ vorausgesetzt. Gib die Funktion $ \mbox{$u(x,t)$}$ in beiden Fällen an.