Lösung.

Da $ \mbox{$F(x,y,y') = F(y,y') = y^2\sqrt{1+(y')^2}$}$ und $ \mbox{$G(x,y,y')=G(y') = \sqrt{1+(y')^2}$}$ nicht explizit von $ \mbox{$x$}$ abhängen, gilt mit einem Lagrange-Multiplikator $ \mbox{$\lambda$}$ für $ \mbox{$\ L = F + \lambda G$}$ die Euler-Lagrange-Bedingung in der Form

$ \mbox{$\displaystyle L-y'L_{y'} \; =\; (y^2 + \lambda)\sqrt{1+(y')^2} - y'\left(\frac{y'}{\sqrt{1+(y')^2}} (y^2 + \lambda)\right) \; =\; c \;, $}$
wobei $ \mbox{$c\in\mathbb{R}$}$ noch zu bestimmen ist.

Aus

$ \mbox{$\displaystyle \frac{y^2+\lambda}{\sqrt{1+(y')^2}} = c $}$
und den Randbedingungen $ \mbox{$y(x_0) = 0$}$, $ \mbox{$y(x_1) = 0$}$ ist $ \mbox{$y$}$ zu bestimmen. Dies führt auf
$ \mbox{$\displaystyle x \; =\; \int\frac{c\, dy}{\sqrt{(y^2 + \lambda)^2 - c^2}} $}$

Numerisch ergibt sich zum Beispiel folgendes Bild. Die untere schwarze Kurve ist ein in der Schwerelosigkeit rotierendes Seil, die obere graue Kurve ist ein in der Schwerkraft hängendes Seil. Vgl. hierzu die Aufgabe zur Berechnung des letzteren. (Die Seile sind unterschiedlich lang, haben aber gleichen Durchhang.)

\includegraphics[width=10cm]{l1.eps}