Beispiel.

Ein Seil der Länge $ \mbox{$l$}$, das in zwei Punkten $ \mbox{$x_0$}$, $ \mbox{$x_1$}$ der $ \mbox{$x$}$-Achse im schwerelosen Raum befestigt ist, rotiere mit Winkelgeschwindigkeit $ \mbox{$\omega$}$ um die $ \mbox{$x$}$-Achse. Gib eine Funktion $ \mbox{$y$}$ an, die den Achsabstand beschreibt.

Ein Massenpunkt des Seils mit Masse $ \mbox{$m$}$ hat die kinetische Energie $ \mbox{$\frac{1}{2} m (\omega y)^2$}$. Die gesamte kinetische Energie des Seils ist also $ \mbox{$\frac{m\omega^2}{2}\int_{x_0}^{x_1} y^2\sqrt{1+(y')^2}\, dx$}$. Gesucht sind die Extremalen von

$ \mbox{$\displaystyle \int_{x_0}^{x_1} y^2\sqrt{1+(y')^2}\, dx $}$
unter der Nebenbedingung
$ \mbox{$\displaystyle \int_{x_0}^{x_1} \sqrt{1+(y')^2}\, dx \; =\; l\; . $}$

Stelle die Euler-Lagrange-Differentialgleichung mit Lagrange-Multiplikator $ \mbox{$\lambda$}$ auf. (Diese ist leider nicht geschlossen lösbar.)