Lösung.

Mit $ \mbox{$F(x,y,y') = y^2 + (y')^2 + 2y\exp(x)$}$ ist die Euler-Lagrange-Gleichung gegeben durch

$ \mbox{$\displaystyle 0\; =\; \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y'} \; =\; 2(y + \exp(x) - y'')\; . $}$
Die lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung $ \mbox{$y''-y=\exp(x)$}$ hat die allgmeine Lösung
$ \mbox{$\displaystyle y(x) \; =\; a \exp(-x) + b \exp(x) + \frac{x\exp(x)}{2}\; . $}$
Aus der Randbedingung $ \mbox{$y(0)=0$}$ erhält man zunächst $ \mbox{$a+b=0$}$, und mit $ \mbox{$y(1)=\exp(1)$}$ folgt unter Verwendung von $ \mbox{$\sinh(x) = \frac{\exp(x)-\exp(-x)}{2}$}$ schließlich
$ \mbox{$\displaystyle y(x) \; =\; \frac{\exp(2)}{\exp(2)-1}\sinh(x) + \frac{x\exp(x)}{2}\; . $}$