Lösung.

Da $ \mbox{$F(x,y,y')=F(x,y')=x(y')^2$}$ nicht explizit von $ \mbox{$y$}$ abhängt, vereinfacht sich die Euler-Lagrange-Bedingung zu

$ \mbox{$\displaystyle 0 = \frac{d}{dx}\frac{\partial}{\partial y'} F = 2(y' + xy''). $}$

Die Substitution $ \mbox{$z = y'$}$ liefert $ \mbox{$z + xz' = 0$}$, was durch $ \mbox{$z(x) = \frac{a}{x}$}$ gelöst wird. Somit wird

$ \mbox{$\displaystyle y(x) \; =\; a \log(x) + b\; . $}$
Aus den Randbedingungen bestimmt man durch Einsetzen die Werte $ \mbox{$b = 1$}$ und $ \mbox{$a = (\log 2)^{-1}$}$. Die Lösung des Variationsproblems ist
$ \mbox{$\displaystyle y(x) \; =\; \frac{\log(x)}{\log(2)}+1 \;. $}$