Aufgabe.

Ein zyklischer Code $ \mbox{$C_g$}$ der Länge $ \mbox{$N=9$}$ über $ \mbox{$\mathbb{F}_8$}$ werde durch $ \mbox{$g = X^4 + \alpha^4 X^3 + \alpha^3 X^2 + \alpha^2 X + 1$}$ erzeugt, wobei $ \mbox{$\alpha\in\mathbb{F}_8$}$ die Gleichung $ \mbox{$\alpha^3 + \alpha + 1 = 0$}$ erfüllt.

  1. Stelle die Zech-Logarithmentafel für $ \mbox{$\mathbb{F}_8$}$ bzgl. $ \mbox{$\alpha$}$ auf.

  2. Berechne das Prüfpolynom $ \mbox{$h$}$.

  3. Sei $ \mbox{$\beta\in\mathbb{F}_{64}$}$ ein Element, für welches $ \mbox{$\beta^2+\alpha \beta + 1 = 0$}$ gilt. Zeige, daß $ \mbox{$\beta$}$ eine primitive $ \mbox{$9$}$-te Einheitswurzel ist.

  4. Gib $ \mbox{$A,B\in\mathbb{N}$}$ an mit $ \mbox{$B-A\leq 2$}$ und $ \mbox{$A \leq d(C_g) \leq B$}$.

  5. Codiere $ \mbox{$(1, \alpha^3, \alpha^2, \alpha, \alpha^4)$}$.

  6. Decodiere $ \mbox{$(1, \alpha^4, \alpha, 0, \alpha, \alpha^4, 1, 0, \alpha)$}$ unter Verwendung des unvollständigen Decodierens. Gib den Fehlervektor an.