Lösung.

  1. Polynomdivision von $ \mbox{$X^6-1$}$ durch $ \mbox{$g = X^3 + 3X^2 + 2X + 4$}$ ergibt $ \mbox{$h = X^3 + 2X^2 + 2X + 1$}$.
  2. Eine Erzeuger- und eine Prüfmatrix sind
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rl} G := \begin{pmatrix}4&2&3&1&0&0\\ 0... ...&2&2\\ 0&1&2\\ 0&0&1\end{pmatrix}\in\mathbb{F}_5^{6\times 3}. \end{array} $}$
  3. Das Polynom $ \mbox{$Y^2+2$}$ vom Grade $ \mbox{$2$}$ hat keine Nullstellen in $ \mbox{$\mathbb{F}_5$}$. Wäre es reduzibel, so könnte man einen Linearfaktor abspalten welcher eine Nullstelle liefern würde. Das Polynom ist also irreduzibel.
  4. Wir erhalten
    $ \mbox{$k$}$ $ \mbox{$1$}$ $ \mbox{$2$}$ $ \mbox{$3$}$ $ \mbox{$4$}$ $ \mbox{$5$}$ $ \mbox{$6$}$
    $ \mbox{$\alpha^k$}$ $ \mbox{$Y+3$}$ $ \mbox{$Y+2$}$ $ \mbox{$4$}$ $ \mbox{$4Y+2$}$ $ \mbox{$4Y+3$}$ $ \mbox{$1$}$
  5. Aus $ \mbox{$G$}$ liest man ab, daß $ \mbox{$d(C_g)\leq 4$}$ gelten muß. Es ist $ \mbox{$g(\alpha^{-1}) = g(\alpha^0) = g(\alpha^1) = 0$}$. Nach der bekannten Abschätzung für die Minimaldistanz eines zyklischen Codes folgt $ \mbox{$d(C_g)\geq 4$}$. Also ist $ \mbox{$d(C_g) = 4$}$.
  6. Es ist $ \mbox{$u(X) = X^5 + 2 X^4 + 4 X^3$}$. Polynomdivision durch $ \mbox{$g(X)$}$ ergibt einen Rest $ \mbox{$r(X) = 3 X^2 + 4 X$}$. Man verwendet als Codewort dann $ \mbox{$c = (0,1,2,4,2,1)$}$.