Lösung.

Die Kovarianz ist bilinear und symmetrisch, also gilt

$ \mbox{$\displaystyle {\operatorname{Cov}}(X-Y,X+Y) \; =\; {\operatorname{Cov}... ...Cov}}(Y,Y) \; =\; {\operatorname{Var}}(X) - {\operatorname{Var}}(Y)\; =\; 0. $}$
Die Zufallsvariablen $ \mbox{$X-Y$}$ und $ \mbox{$X+Y$}$ sind also unkorreliert.

Wohl aber können $ \mbox{$X-Y$}$ und $ \mbox{$X+Y$}$ abhängig sein. Sei etwa $ \mbox{$X$}$ so, daß $ \mbox{$P(X=1) = P(X=0) = \frac{1}{2}$}$, sei $ \mbox{$Y$}$ so, daß auch $ \mbox{$P(Y=1) = P(Y=0) = \frac{1}{2}$}$. Dann ist $ \mbox{$P(X+Y=1 {\mbox{ und }} X-Y=1) = P(X=1 {\mbox{ und }} Y=0) = 1/4$}$, wohingegen $ \mbox{$P(X + Y = 1)\cdot P(X - Y = 1) = 1/2\cdot 1/4 = 1/8$}$.

Sind nun aber $ \mbox{$X$}$ und $ \mbox{$Y$}$ normalverteilt, so auch $ \mbox{$X+Y$}$ und $ \mbox{$X-Y$}$. Deren Unkorreliertheit haben wir bereits gesehen, und aus ihrer Normalverteiltheit folgt somit die Unabhängigkeit.