Lösung.

Die Likelihood-Funktion ist

$ \mbox{$\displaystyle L(x_1,\dots,x_n,\vartheta) \; = \; \left(\frac{1}{\vartheta}\right)^n\, \exp(-\frac{1}{\vartheta}\sum_{j=1}^n x_i) $}$
falls alle $ \mbox{$x_i>0$}$ und ansonsten gleich null.

Die Likelihood-Funktion $ \mbox{$L(x_1,\dots,x_n,\vartheta)$}$ für $ \mbox{$x_i>0$}$ ist genau da maximal, wo auch $ \mbox{$\log(L(x_1,\dots,x_n,\vartheta)) = -n\,\log(\vartheta) - \frac{1}{\vartheta}\sum_{j=1}^n x_j$}$ maximal ist, d.h. die notwendige Bedingung ist

$ \mbox{$\displaystyle 0 = \frac{d}{d\vartheta}\log(L(x_1,\dots,x_n,\vartheta)) = -\frac{n}{\vartheta} + \frac{1}{\vartheta^2}\sum_{j=1}^n x_i $}$
und damit ist
$ \mbox{$\displaystyle \vartheta \; = \; \frac{\sum_{j=1}^n x_j}{n} \; = \; \bar{x}_n. $}$
Der zugehörige Maximum-Likelihood-Schätzer ist also $ \mbox{$\bar{X}_n$}$.

Es gilt

$ \mbox{$\displaystyle {\operatorname{E}}(\bar{X_n}) \; = \; \frac{1}{\alpha} \; = \; \vartheta\; . $}$
Da $ \mbox{${\operatorname{Var}}(\bar{X}_n) = \frac{{\operatorname{Var}}(X)}{n}$}$, gilt mit der Ungleichung von Chebyshev für gegebenes $ \mbox{$\varepsilon > 0$}$
$ \mbox{$\displaystyle P(\vert\bar{X}_n-\vartheta\vert>\varepsilon ) \; \leq \... ...ac{{\operatorname{Var}}(\bar{X}_n)}{\varepsilon ^2} \; \longrightarrow \; 0 $}$
für $ \mbox{$n\to\infty$}$. Somit ist die Folge der Schätzfunktionen $ \mbox{$(\bar{x}_n)_{n\in\mathbb{N}}$}$ konsistent.