Maximum Likelihood Methode.

Um eine zu vorgegebenen Meßdaten passende Verteilung zu finden, verwendet man die Likelihood-Methode. Dabei geht man von einer vorgegebenen Klasse von Verteilungen aus und bestimmt den eine solche Verteilung bestimmende Parameter so daß die Übereinstimmung der Verteilung mit den Meßdaten bestmöglich ist.

Die Likelihood-Funktion für den Parameter $ \mbox{$\vartheta$}$ der Realisierung $ \mbox{$x_1,\dots,x_n$}$ einer Stichprobe $ \mbox{$X_1,\dots,X_n$}$ mit der durch $ \mbox{$\vartheta$}$ bestimmten Verteilung (und im stetigen Fall zugehöriger Dichte $ \mbox{$f$}$) sei

  1. im diskret verteilten Fall gegeben durch
    $ \mbox{$\displaystyle L(x_1,\dots,x_n,\vartheta) \; := \; P_\vartheta(X_1=x_1) \cdots P_\vartheta(X_n=x_n)\; ;$}$
  2. im stetig verteilten Fall gegeben durch
    $ \mbox{$\displaystyle L(x_1,\dots,x_n,\vartheta) \; := \; f_\vartheta(x_1) \cdots f_\vartheta(x_n)\; .$}$

Die Funktion $ \mbox{$T_n(x_1,\dots,x_n)$}$ heißt Maximum Likelihood Schätzfunktion, falls für gegebene $ \mbox{$x_1,\dots,x_n$}$ das Maximum der Funktion

$ \mbox{$\displaystyle \vartheta \mapsto L(x_1,\dots,x_n,\vartheta) $}$
in $ \mbox{$\vartheta=T(x_1,\dots,x_n)$}$ ein globales Maximum annimmt.