Aufgabe.

Eine mit Parameter $ \mbox{$\alpha>0$}$ exponentiell verteilte Zufallsvariable $ \mbox{$X$}$ hat Dichte $ \mbox{$f(x) = \alpha\,\exp(-\alpha\,x)$}$ für $ \mbox{$x>0$}$ und $ \mbox{$f(x) = 0$}$ sonst.

Bestimme den Maximum-Likelihood-Schätzer für $ \mbox{$\vartheta= \frac{1}{\alpha}$}$ wenn $ \mbox{$\alpha>0$}$ der Parameter einer exponentiell verteilten Stichprobe ist.

Ist der Maximum-Likelihood-Schätzer erwartungstreu und konsistent?