Lösung.

Die Likelihood-Funktion ist

$ \mbox{$\displaystyle L(x_1,\dots,x_n,\vartheta) \; = \; P_\vartheta(X_1=x_1)... ...vartheta(X_n=x_n) \; = \; \vartheta^n\,(1-\vartheta)^{(\sum_{i=1}^nx_i)-n}. $}$
Um den zugehörenden Maximum-Likelihood-Schätzer für $ \mbox{$\vartheta$}$ zu bestimmen ist das Maximum von $ \mbox{$L(x_1,\dots,x_n,\vartheta)$}$ in Abhängigkeit von $ \mbox{$\vartheta$}$ zu bestimmen. Die notwendige Bedingung für ein (lokales) Extremum ist
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} 0 = \frac{d}{d\vartheta}L(x_1,\dots... ...bigl(n\,(1-\vartheta)-\vartheta\, ((\sum_{i=1}^n x_i) -n)\bigr) \end{array}$}$

Aus der Bedingung $ \mbox{$n\,(1-\vartheta)-\vartheta\,((\sum_{i=1}^n x_i) -n) = 0$}$ folgt

$ \mbox{$\displaystyle \vartheta \;= \; \frac{n}{\sum_{i=1}^n x_i} \; = \; \frac{1}{\bar{x}_n}. $}$

Der Maximum-Likelihood-Schätzer ist also $ \mbox{$(\bar{X}_n)^{-1}$}$.

Alternativ kann auch $ \mbox{$\frac{d}{d\vartheta}\log(L(x_1,\dots,x_n,\vartheta))$}$ berechnet werden, was oft erhebliche Vereinfachung bedeutet.