Aufgabe.

Für eine Stichprobe $ \mbox{$X_1,\dots,X_n$}$ ist bei unbekanntem Erwartungswert $ \mbox{$\mu={\operatorname{E}}(X_i)$}$ die empirische Varianz gegeben durch

$ \mbox{$\displaystyle S_n^2(X_1,\dots,X_n) \;=\; \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X}_n)^2\;. $}$
Sei $ \mbox{$\sigma^2 = {\operatorname{Var}}(X_i)$}$ und $ \mbox{$\eta_4 := {\operatorname{E}}\left((X_i-\mu)^4\right)$}$ das zentrierte vierte Moment. Zeige, daß
$ \mbox{$\displaystyle {\operatorname{Var}}(S_n^2(X_1,\dots,X_n)) \;=\; \frac{\eta_4}{n} - \frac{n-3}{n(n-1)}\vspace*{1mm}\sigma^4\;. $}$