Lösung.

Für die Folge der unabhängigen Zufallsvariablen $ \mbox{$(X_n)_{\mathbb{N}}$}$ gilt $ \mbox{$P(X_n = 1) = 0.05$}$ und $ \mbox{$P(X_n = 0) = 0.95$}$.

Es gilt

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} P(30 \leq 500\cdot \bar{X}_{500} \le... ...\Phi_{0,1}(1.025)\\ &\approx& 1.0000 - 0.8473\\ &=& 0.1527. \end{array}$}$

Bei der Poissonapproximation gilt $ \mbox{$\lambda = np = 25$}$ und es folgt (mit Rechnerunterstützung)

$ \mbox{$\displaystyle \sum_{k=30}^{70} p(30 \leq \sum_{i=1}^{500}X_i \leq 70) = \exp(-25) \sum_{k=30}^{70}\frac{25^k}{k!} \approx 0.1821. $}$

Der genaue Wert ist übrigens $ \mbox{$0.1765$}$.