Lösung.

Für die Approximation mit der Ungleichung von Chebyshev beschreibe die Zufallsvariable $ \mbox{$X$}$ die Augenanzahl, d.h. $ \mbox{$P(X=k) = \frac{1}{6}$}$ für $ \mbox{$k\in\{1,\dots,6\}$}$.

Dann gilt $ \mbox{${\operatorname{E}}(X) = 3.5$}$ und $ \mbox{${\operatorname{Var}}(X) = {\operatorname{E}}((X-3.5)^2) = \frac{1}{3}(2.5^2+1.5^2+0.5^2) = \frac{35}{12} \approx 2.92$}$.

Die exakte Wahrscheinlichkeit für das jeweilige Ereignis kann direkt im Laplaceschen Wahrscheinlichkeitsraum abgelesen werden.

  1. Die Chebyshevsche Ungleichung liefert mit $ \mbox{$a=2.5$}$
    $ \mbox{$\displaystyle P(\text{eine Eins oder eine Sechs})\; =\; P(\vert X-{\o... ...geq2.5) \;\leq\; \frac{1}{2.5^2} \cdot\frac{35}{12} \;\approx\; {0.47}\; , $}$
    der exakte Wert ist $ \mbox{$\frac{1}{3}$}$.

  2. Die Chebyshevsche Ungleichung liefert mit $ \mbox{$a=1.5$}$
    $ \mbox{$\displaystyle P(\text{weder eine Drei noch eine Vier})\; =\; P(\vert ... ...geq1.5) \;\leq\; \frac{1}{1.5^2}\cdot \frac{35}{12} \;\approx\; {1.30}\; . $}$
    In diesem Falle bringt die Abschätzung keine neue Information mit sich, da $ \mbox{$P(\dots)\leq 1$}$ ohnehin gilt. Der exakte Wert $ \mbox{$\frac{2}{3}$}$ ist weit vom Approximationswert entfernt.