Lösung.

(i) Nach Definition gilt $ \mbox{${\operatorname{E}}(X) = \sum_{k=1}^\infty k\, a\,(1-a)^{k-1}$}$. Für $ \mbox{$0 < a < 1$}$ gelten für $ \mbox{$G(a) := a^{-1}$}$ die folgenden Identitäten

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rclcl} G(a) &=& \sum_{k=0}^\infty (1-a)^k... ... G''(a) &=& \sum_{k=2}^\infty k\,(k-1)\,(1-a)^{k-2} &=& 2 a^{-3} \end{array}$}$

Für den Erwartungswert folgt

$ \mbox{$\displaystyle {\operatorname{E}}(X) = \sum_{k=1}^\infty k\, a\,(1-a)^{k-1} = -a\,G'(a) = a^{-1}. $}$

Für $ \mbox{${\operatorname{E}}(X^2)$}$ gilt

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} {\operatorname{E}}(X^2) & = & \sum_{... ...\cdot 2a^{-3} + a\cdot a^{-2}\\ & = & 2a^{-2} - a^{-1}\; ,\\ \end{array}$}$
damit folgt
$ \mbox{$\displaystyle {\operatorname{Var}}(X) = {\operatorname{E}}(X^2) - ({\operatorname{E}}(X))^2 = 2\,a^{-2} - a^{-1} - (a^{-1})^2 = \frac{1-a}{a^2}. $}$

(ii) Beim Würfeln ist obige Überlegung anwendbar mit $ \mbox{$a=\frac{1}{6}$}$, d.h. die Anzahl die mittleren erwarteten Wiederholungen bis zur ersten geworfenen Eins ist $ \mbox{$6$}$.