Repetitorium HM III

Zufallsvariable und Erwartungswert.

Zufallsvariablen sind von den Elementarereignissen abhängige Meßgrößen, über die wahrscheinlichkeitstheoretische Aussagen getroffen werden sollen. So z.B. kann man sich fragen, welche Meßgröße im Mittel erwartet werden kann.

Eine Zufallsvariable $\mbox{$X$}$ ist eine Funktion $\mbox{$X:\Omega\longrightarrow \mathbb{R}$}$ , für die $\mbox{$\{\omega\in\Omega\; \vert\; X(\omega)\leq t\}$}$ ein meßbares Ereignis ist für alle $\mbox{$t\in\mathbb{R}$}$ . Die Wahrscheinlichkeit $\mbox{$F(t) := P(\{\omega\in\Omega\; \vert\; X(\omega)\leq t\})$}$ dieses Ereignisses in Abhängigkeit von $\mbox{$t\in\mathbb{R}$}$ heißt auch Verteilungsfunktion von $\mbox{$X$}$ .

Für $\mbox{$t\in\mathbb{R}$}$ schreiben wir auch $\mbox{$(X = t) :=\{\omega\in\Omega\; \vert\; X(\omega) = t\}$}$ , $\mbox{$(X \leq t) := \{\omega\in\Omega\; \vert\; X(\omega) \leq t\}$}$ etc.

Sei $\mbox{$I$}$ eine Indexmenge. Die Zufallsvariablen $\mbox{$X_i$}$ für $\mbox{$i\in I$}$ heißen unabhängig, falls die Ereignisse $\mbox{$(X_{i_1}\leq t_1),\dots, (X_{i_n}\leq t_n)$}$ unabhängig sind für alle endlichen Indextupel $\mbox{$(i_1,\dots i_n)$}$ und je alle $\mbox{$t_j\in [-\infty,+\infty]$}$ , $\mbox{$1\leq j\leq n$}$ .

Existiert eine integrierbare Funktion $\mbox{$f:\mathbb{R}\longrightarrow [0,\infty)$}$ mit

$\mbox{$\displaystyle F(t) = \int_{-\infty}^t f(x)\,dx\; , $}$

so heißt $\mbox{$f$}$ die Dichte von $\mbox{$X$}$ .

Der Erwartungswert von $\mbox{$X$}$ ist dann definiert als

$\mbox{$\displaystyle {\operatorname{E}}(X) := \int_{-\infty}^{+\infty} x\, f(x)\, dx $}$

falls dieses Integral absolut konvergiert.

Ist $\mbox{$X$}$ diskret verteilt, d.h. $\mbox{$X(\Omega) = \{ t_i\; \vert\; i\in I\subseteq \mathbb{N}\}$}$ , setzen wir analog

$\mbox{$\displaystyle {\operatorname{E}}(X)\; :=\; \sum_{i\in I} t_i\, P(X = t_i)\; . $}$

Die Varianz $\mbox{${\operatorname{Var}}(X)$}$ , mit der die zu erwartende Abweichung vom Erwartungswert gemessen werden soll, ist definiert als

$\mbox{$\displaystyle {\operatorname{Var}}(X)\; :=\; {\operatorname{E}}\big((X - {\operatorname{E}}(X))^2\big)\; . $}$

Abweichungen vom Erwartungswert werden so quadratisch gewichtet.

Im diskreten Fall ergibt sich also

$\mbox{$\displaystyle {\operatorname{Var}}(X)\; =\; \left(\sum_{i\in I} t_i^2\, P(X = t_i)\right) - \bigl(E(X)\bigr)^2 \; . $}$

Es gelten für Zufallsvariablen $\mbox{$X$}$ und $\mbox{$Y$}$ die folgenden Regeln.

$\mbox{${\operatorname{E}}(\lambda X + \mu Y) = \lambda{\operatorname{E}}(X) + \mu{\operatorname{E}}(Y)$}$ für $\mbox{$\lambda,\mu\in\mathbb{R}$}$ .
Ist $\mbox{$X(\omega)\leq Y(\omega)$}$ für alle $\mbox{$\omega\in\Omega$}$ , so ist $\mbox{${\operatorname{E}}(X)\leq{\operatorname{E}}(Y)$}$ .
$\mbox{${\operatorname{Var}}(X) = {\operatorname{E}}(X^2) - \bigl({\operatorname{E}}(X)\bigr)^2$}$ .
$\mbox{${\operatorname{Var}}(\lambda X) = \lambda^2{\operatorname{Var}}(X)$}$ für $\mbox{$\lambda\in\mathbb{R}$}$ .
Falls $\mbox{$X$}$ und $\mbox{$Y$}$ unabhängig sind, gilt $\mbox{${\operatorname{E}}(XY) = {\operatorname{E}}(X){\operatorname{E}}(Y)$}$ , und folglich $\mbox{${\operatorname{Var}}(X+Y) = {\operatorname{Var}}(X) + {\operatorname{Var}}(Y)$}$ .
Über die Dichte ausgedrückt, gilt $\mbox{${\operatorname{Var}}(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x)\, dx - \left( \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x)\right)^2\; $}$ .