Lösung.

Sei $ \mbox{$\xi$}$ die Summe der Lösungen von $ \mbox{$z^{2k} = -1$}$ mit positivem Imaginärteil. Sei

$ \mbox{$\displaystyle \zeta := e^{\frac{\pi \mathrm{i}}{2k}}\;. $}$
Dann ist $ \mbox{$\zeta^2\xi = \xi - 2\zeta$}$, also
$ \mbox{$\displaystyle \xi \; =\; \frac{2\zeta}{1-\zeta^2} \; =\; \frac{\mathrm{i}}{\sin\left(\frac{\pi}{2k}\right)}\;. $}$

Wie im Fall $ \mbox{$k = 3$}$ erhält man so

$ \mbox{$\displaystyle \int_0^\infty \frac{1}{(1+x^{2k})^2} dx \; =\; \frac{(2k - 1)\pi}{(2k)^2\sin\left(\frac{\pi}{2k}\right)}\; . $}$