Lösung.

Wäre $ \mbox{$\vert f(z)\vert > m$}$, so wäre das Maximum $ \mbox{$M$}$ von $ \mbox{$\vert f(z)\vert$}$ auf der (kompakten) Menge $ \mbox{$\bar{B}_r(z_0)$}$ ebenfalls größer als $ \mbox{$m$}$. Sei diesenfalls etwa $ \mbox{$\vert f(z_1)\vert = M$}$, wobei $ \mbox{$z_1$}$ notwendigerweise in $ \mbox{$B_r(z_0)$}$ liegt (Kreisscheibe ohne Rand), da $ \mbox{$M > m$}$. Also liegt in $ \mbox{$z_1$}$ ein lokales Maximum von $ \mbox{$\vert f(z)\vert$}$ vor, und somit ist $ \mbox{$f$}$ konstant auf $ \mbox{$G$}$ nach dem Maximumprinzip. Aber es gibt auch ein $ \mbox{$z_2\in\partial B_r(z_0)$}$ mit $ \mbox{$f(z_2) = m < M = f(z_1)$}$.

Das ist ein Widerspruch, und mithin war die Annahme $ \mbox{$\vert f(z)\vert > m$}$ falsch.