Lösung.

Mit der Cauchyschen Integralformel gilt mit $ \mbox{$f(z) = \frac{e^{1-z}}{1-z}$}$

$ \mbox{$\displaystyle f''(0) = \frac{2!}{2\pi \mathrm{i}}\int_{\gamma_1} \frac{e^{1-z}}{z^3(1-z)}\, dz\; , $}$
und $ \mbox{$f''(z) = e^{1-z} ((1-z)^{-1} - 2(1-z)^{-2} + 2(1-z)^{-3})$}$. Somit gilt $ \mbox{$\int_{\gamma_1} \frac{e^{1-z}}{z^3(1-z)}\, dz = e\pi \mathrm{i}$}$.

Mit der Cauchyschen Integralformel gilt mit $ \mbox{$f(z) = \frac{e^{1-z}}{z^3}$}$

$ \mbox{$\displaystyle f(1) = -\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\int_{\gamma_2} \frac{e^{1-z}}{z^3(1-z)}\, dz\; . $}$
Somit ist $ \mbox{$\int_{\gamma_2} \frac{e^{1-z}}{z^3(1-z)}\, dz = -2\pi \mathrm{i}$}$.