Lösung.

Es gilt

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} u_x &=& 3x^2 - 3y^2,\\ u_y &=& -6 xy,\\ v_x &=& 4xy,\\ v_y &=& 2x^2.\\ \end{array}$}$
Die zweite der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen verlangt $ \mbox{$xy = 0$}$. Die erste verlangt $ \mbox{$x^2 = 3y^2$}$. Damit ist $ \mbox{$f$}$ in $ \mbox{$z = 0$}$ differenzierbar und nirgendwo sonst.

Für ein solches Polynom $ \mbox{$\tilde{v}(x,y)$}$ muß wegen der ersten Cauchy-Riemannschen Differentialgleichung $ \mbox{$\tilde{v}_y(x,y) = 3x^2 - 3y^2$}$ gelten, d.h. $ \mbox{$\tilde{v}(x,y) = 3x^2 y - y^3 + c(x)$}$, $ \mbox{$c(x)$}$ ein reelles Polynom in $ \mbox{$x$}$. Die zweite verlangt dann $ \mbox{$c'(x) = 0$}$. Somit können wir $ \mbox{$\tilde{v}(x,y) = 3x^2 y - y^3$}$ wählen.

Es wird so im übrigen $ \mbox{$\tilde{f}(z) = z^3$}$.