Möbiustransformationen.

Seien $ \mbox{$a,b,c,d\in\mathbb{C}$}$ mit $ \mbox{$ad - bc \neq 0$}$. Sei die zugehörige Möbiustransformation definiert als $ \mbox{$f_{a,b,c,d}(z) := \frac{az + b}{cz + d}$}$, wobei $ \mbox{$z$}$ Werte in $ \mbox{$\bar{\mathbb{C}} = \mathbb{C}\cup\{\infty\}$}$ annehmen darf und $ \mbox{$f_{a,b,c,d}(z)$}$ auch Werte in diesem Bereich liefert.

Ein verallgemeinerter Kreis ist per Definition entweder ein Kreis oder eine Gerade. Eine Möbiustransformation bildet einen verallgemeinerten Kreis auf einen verallgemeinerten Kreis ab.

Seien nun $ \mbox{$z_1$}$, $ \mbox{$z_2$}$ und $ \mbox{$z_3$}$ drei verschiedene Punkte aus $ \mbox{$\bar{\mathbb{C}}$}$, und seien $ \mbox{$w_1$}$, $ \mbox{$w_2$}$ und $ \mbox{$w_3$}$ ebenfalls drei verschiedene Punkte aus $ \mbox{$\bar{\mathbb{C}}$}$. Es gibt genau eine Möbiustransformation, die $ \mbox{$z_1$}$ auf $ \mbox{$w_1$}$, $ \mbox{$z_2$}$ auf $ \mbox{$w_2$}$ und $ \mbox{$z_3$}$ auf $ \mbox{$w_3$}$ abbildet. Diese erhält man, indem man die 6-Punkte-Formel

$ \mbox{$\displaystyle \frac{w - w_1}{w - w_3}\frac{w_2 - w_3}{w_2 - w_1} = \frac{z - z_1}{z - z_3}\frac{z_2 - z_3}{z_2 - z_1} $}$
nach $ \mbox{$w$}$ auflöst. Hierbei ist $ \mbox{$\frac{\infty}{\infty} = 1$}$ zu rechnen.