Lösung.

Wir berechnen zunächst

$ \mbox{$\displaystyle \chi_A(X\text{E}-A)=\det\begin{pmatrix}X-1&0&-2\\ 1&X-2&-2\\ 1&-1&X\end{pmatrix}=X(X-1)(X-2)\,.$}$
Also hat $ \mbox{$A$}$ die Eigenwerte $ \mbox{$0,1,2\,$}$ und ist somit diagonalisierbar. Nun ist
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rclclcl} \text{E}_A(0) & = &\text{Kern }A ... ... & \langle\begin{pmatrix}2\\ 4\\ 1\end{pmatrix}\rangle \; .\\ \end{array}$}$
Mit
$ \mbox{$\displaystyle S \; :=\; \begin{pmatrix}-2&1&2\\ -2&1&4\\ \hfill 1&0&1\end{pmatrix}$}$
wird also
$ \mbox{$\displaystyle S^{-1}AS\; =\; \begin{pmatrix}0&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2\end{pmatrix} \; =:\; D\; , $}$
und somit
$ \mbox{$\displaystyle e^{tA}S\; =\; S e^{tD} \; = \; \begin{pmatrix}-2&e^t&2e^{2t}\\ -2&e^t&4e^{2t}\\ \hfill 1&0&e^{2t}\end{pmatrix}\; . $}$
Die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung $ \mbox{$x'(t) = A x(t)$}$ lautet somit
$ \mbox{$\displaystyle x(t)\; =\; e^{tA}Sc $}$
mit einem Vektor $ \mbox{$c\in\mathbb{C}^3\,$}$ .

Variation der Konstanten sieht den Ansatz

$ \mbox{$\displaystyle x(t)\; =\; e^{tA}Sc(t) \;=\; S e^{tD} c(t) $}$
vor. Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung $ \mbox{$x'(t) = Ax(t) + b(t)$}$ liefert die Bedingung
$ \mbox{$\displaystyle A e^{tA} Sc + e^{tA} S c' \; =\; A e^{tA} Sc + b\; , $}$
i.e. die Bedingung
$ \mbox{$\displaystyle e^{tA} S c' \; =\; b $}$
an $ \mbox{$c(t)$}$ . Wir berechnen die Partikulärlösung
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} c_0(t) & = & \displaystyle\int S^{-1... ...^2)e^{-t} \\ 3(1 - 2t)e^{-2t} \\ \end{array}\right) \; . \\ \end{array}$}$
Hieraus erhalten wir die Partikulärlösung
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} x_0(t) &=& S e^{tD} c_0(t) \; =\; \fr... ...^2 - 16 t^3 \\ 3 + 6 t - 6 t^2 + 8 t^3 \\ \end{array}\right) \end{array}$}$
der ursprünglichen inhomogenen Gleichung $ \mbox{$x'(t) = Ax(t) + b(t)$}$ .

Die allgemeine Lösung ergibt sich nun als Summe der partikulären inhomogenen Lösung $ \mbox{$x_0(t)$}$ und der allgemeinen homogenen Lösung $ \mbox{$e^{tA}Sc$}$ zu

$ \mbox{$\displaystyle x(t)=\frac{1}{24} \left( \begin{array}{c} -114 - 84 t -... ...3 e^{2t} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 4 \\ 1 \\ \end{array}\right) $}$
für beliebig gewählte Konstanten $ \mbox{$c_1,\, c_2,\, c_3\,\in\,\mathbb{C}$}$ .