Lösung.

Das charakteristische Polynom von $ \mbox{$A$}$ ist

$ \mbox{$\displaystyle \chi_A(X)=X^3(X-1)\,,$}$
also hat $ \mbox{$A$}$ die Eigenwerte $ \mbox{$0\,$}$ und $ \mbox{$\,1\,$}$ . Wir berechnen nun die Jordanform von $ \mbox{$A$}$ mit einer Transformationsmatrix $ \mbox{$S=(s_1,s_2,s_3,s_4)$}$ .

Für den Eigenwert $ \mbox{$0$}$ setzen wir $ \mbox{$C_1:=A - 0\cdot\text{E}$}$ und berechnen

$ \mbox{$\displaystyle \text{Kern }C_1\; =\; \text{Kern }\underbrace{\left(\be... ...ft(\begin{array}{r}3\\ -1\\ 0\\ 1\end{array}\right)}_{=:y_{1,2}}\rangle\,.$}$
Außerdem ist
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \text{Kern }C_1^2&=&\text{Kern }(Z_1C... ...space{3mm}\\ &=&\text{Kern }\begin{pmatrix}2&1&2&-5\end{pmatrix}\end{array}$}$
und wir ergänzen $ \mbox{$(y_{1,1},y_{2,1})$}$ mit $ \mbox{$y_{2,1}:=(-1,2,0,0)^\text{t}\in\text{Kern }C_1^2$}$ zu einer Basis $ \mbox{$(y_{1,1},y_{1,2},y_{2,1})$}$ von $ \mbox{$\text{Kern }C_1^2$}$ , die auch Basis des Hauptraums $ \mbox{$\text{H}_A(0)$}$ ist. Nun ergänzen wir $ \mbox{$C_1 y_{2,1}$}$ mit $ \mbox{$y_{1,2}$}$ zu einer Basis $ \mbox{$(C_1 y_{2,1},y_{1,2})$}$ von $ \mbox{$\text{Kern }C_1$}$ und setzen $ \mbox{$(s_1,s_2,s_3):=(C_1y_{2,1},y_{2,1},y_{1,2})\,$}$ .

Für den Eigenwert $ \mbox{$1$}$ setzen wir $ \mbox{$C_2:=A-E$}$ und erhalten

$ \mbox{$\displaystyle \text{Kern }C_2 \; =\; \text{Kern }\begin{pmatrix}1&0&0&... ...derbrace{\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 1\\ 1\end{pmatrix}}_{=:y_{1,1}}\rangle\,. $}$
Dies ist eine Basis des Hauptraums $ \mbox{$\text{H}_A(1)$}$ , also wählen wir $ \mbox{$s_4:=y_{1,1}$}$ .

Mit

$ \mbox{$\displaystyle S \; =\; \left( \begin{array}{rrrr} -1 & -1 & 3 & 1 \\ ... ...& 2 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array}\right) $}$
gilt also nun
$ \mbox{$\displaystyle S^{-1}AS\; =\; \begin{pmatrix}0&1&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&1\end{pmatrix} \; =:\; J \; . $}$
Somit erhalten wir
$ \mbox{$\displaystyle Se^{tJ} \; =\; \begin{pmatrix}-1&-1&\hfill 3&\hfill 1\\ ... ...rrr}-1&-t-1&3&e^t\\ 0&2&-1&2e^t\\ 1&t&0&e^t\\ 0&0&1&e^t\end{array}\right) $}$
eine Fundamentalmatrix, so daß die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
$ \mbox{$\displaystyle x(t)\; =\; Se^{tJ}c $}$
mit einem Vektor $ \mbox{$c\in\mathbb{C}^4\,$}$ lautet.