Lösung.

Wir haben $ \mbox{$\dot y = A y$}$ zu lösen, wobei $ \mbox{$A = \begin{pmatrix}1&1\\ 1&1\end{pmatrix}$}$ .

Nun ist $ \mbox{$\exp(tA) = \frac{1}{2}\left(\begin{array}{rr}1&-1\\ -1&1\end{array}\right) + \frac{e^{2t}}{2}\begin{pmatrix}1&1\\ 1&1\end{pmatrix}$}$ eine Fundamentalmatrix.

Dies kann man $ \mbox{$A^n = 2^{n-1} A$}$ , wobei $ \mbox{$n\ge 1$}$ , und der Reihendarstellung von $ \mbox{$e^{tA}$}$ oder aber einer Jordanformüberlegung entnehmen.

Eine beliebige Lösung des gegebenen Systems von Differentialgleichungen ist also von der Form

$ \mbox{$\displaystyle y \;=\; \left(\dfrac{1}{2}\left(\begin{array}{rr}1&-1\\ ... ...pmatrix}1&1\\ 1&1\end{pmatrix}\right)\begin{pmatrix}v_1 \\ v_2\end{pmatrix}$}$
für $ \mbox{$v = \begin{pmatrix}v_1 \\ v_2\end{pmatrix}\in\mathbb{C}^2$}$ beliebig. Ausgeschrieben bedeutet dies
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rclcl} y_1 & = & \dfrac{v_1}{2}(1 + e^{2t}... ...\dfrac{v_1}{2}(-1 + e^{2t}) & + & \dfrac{v_2}{2}(1 + e^{2t}) \\ \end{array}$}$
für beliebige $ \mbox{$v_1,\, v_2\,\in\,\mathbb{C}$}$ . Dies kann man noch umformulieren zu
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rclcl} y_1 & = & w_1 e^{2t} & + & w_2 \vspace*{3mm}\\ y_2 & = & w_1 e^{2t} & - & w_2 \\ \end{array}$}$
für beliebige $ \mbox{$w_1,\, w_2\,\in\,\mathbb{C}$}$ . Dies hätte man wiederum dem System durch Addition und Subtraktion der beiden Gleichungen auch ansehen können.