HM II

Beispiel.

Es sei $\mbox{$m\ge 1$}$ , $\mbox{$V\subseteq\mathbb{R}^m$}$ , $\mbox{$h:V\to\mathbb{R}^m$}$ , $\mbox{$y_0\in V$}$ ein innerer Punkt, $\mbox{$\det h'(y_0) \ne 0$}$ und $\mbox{$x_0 := h(y_0)$}$ .

1.

Zeige, daß es eine Umgebung $\mbox{$y_0 \in V_0\subseteq\mathbb{R}^m$}$ und eine Umgebung $\mbox{$x_0 \in U_0\subseteq \mathbb{R}^m$}$ gibt derart, daß folgendes gilt.

Es ist $\mbox{$h(U_0) = V_0$}$ .
Es ist $\mbox{$h\vert _{U_0}: U_0\longrightarrow V_0$}$ bijektiv.
Es ist $\mbox{$\det h'(y) \ne 0$}$ für alle $\mbox{$y\in V_0$}$ .
Es ist die Umkehrabbildung $\mbox{$g:U_0\longrightarrow V_0$}$ stetig differenzierbar in allen inneren Punkten von $\mbox{$U_0$}$ .

2.

Berechne $\mbox{$g'(x)$}$ auf $\mbox{$U_0$}$ unter Zuhilfenahme der Aussagen über implizite Funktionen.