Lösung.

1.
Es ist $ \mbox{$A\bar{A}^\text{t} = A(-A) = (-A)A = \bar{A}^\text{t} A$}$ , d.h. $ \mbox{$A$}$ ist normal und mithin unitär diagonalisierbar.

2.
Zum Beispiel gibt $ \mbox{$A:=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&1\end{pmatrix}$}$
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} A\bar{A}^\text{t} &=& \begin{pmatrix}... ... \bar{A}^\text{t} A &=& \begin{pmatrix}0&0\\ 0&2\end{pmatrix}\;, \end{array}$}$
d.h. $ \mbox{$A$}$ ist nicht normal und mithin nicht unitär diagonalisierbar.

Man kann hierfür auch die Tatsache verwenden, daß eine normale obere Dreiecksmatrix notwendig eine Diagonalmatrix ist.

Wegen

$ \mbox{$\displaystyle \chi_A(X) \;=\; X(X-1) $}$
hat $ \mbox{$A$}$ zwei verschiedene Eigenwerte, und ist somit diagonalisierbar.

3.
Sei etwa der Eintrag an der Position $ \mbox{$(k,k)$}$ positiv, und der Eintrag an der Position $ \mbox{$(l,l)$}$ negativ. Dann ist $ \mbox{$\text{q}_A(e_k)>0$}$ und $ \mbox{$\text{q}_A(e_l)<0$}$ . Folglich ist $ \mbox{$A$}$ indefinit. Somit hat $ \mbox{$A$}$ einen positiven und einen negativen Eigenwert.

4.
Es wird
$ \mbox{$\displaystyle \text{q}_A(x+y)-\text{q}_A(x-y) \;=\; 2(\bar{x}^\text{t} Ay+\bar{y}^\text{t} Ax) $}$
und somit
$ \mbox{$\displaystyle \text{q}_A(x+\mathrm{i}y)-\text{q}_A(x-\mathrm{i}y) \;=\... ...;\text{t}} Ax) \;=\; 2\mathrm{i}(\bar{x}^\text{t} Ay-\bar{y}^\text{t} Ax)\;. $}$
Insgesamt wird
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{cl} & \frac{1}{4}\bigg(\text{q}_A(x+y)-\te... ...r{y}^\text{t} Ax)\bigg)\vspace*{3mm}\\ =&\bar{x}^\text{t} Ay\;. \end{array}$}$

5.
Sei $ \mbox{$C=(c_{i,j})_{i,j}:=A-B$}$ . Dann gilt $ \mbox{$q_C(x)=q_A(x)-q_B(x)=0$}$ für alle $ \mbox{$x\in\mathbb{C}^n$}$ . Mit der in 4. gezeigten Formel folgt $ \mbox{$\bar{x}^\text{t} Cy=0$}$ für alle $ \mbox{$x,y\in\mathbb{C}^n$}$ . Insbesondere ist $ \mbox{$c_{i,j}=\bar{e_i}^\text{t} C e_j =0$}$ für alle $ \mbox{$i,j\in\{1,\dots,n\}$}$ , und damit $ \mbox{$C=0$}$ und $ \mbox{$A=B$}$ .

6.
Mit 5. haben wir folgende Äquivalenzen.
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rll} & \Vert Ax\Vert \;=\; \Vert x\Vert & ... ...{E}\vspace*{3mm}\\ \iff & \text{{$\mbox{$A$}$} ist unit\uml ar} \end{array}$}$