Lösung.

Die Gleichung läßt sich umformen zu

$ \mbox{$\displaystyle y' \;=\; {\displaystyle\frac{y}{x}}\left(1+\log\left({\displaystyle\frac{y}{x}}\right)\right) \;. $}$
Die Substitution $ \mbox{$u=y/x$}$ führt auf die Gleichung
$ \mbox{$\displaystyle u' \;=\; {\displaystyle\frac{u(1+\log u)-u}{x}} \;=\; {\displaystyle\frac{u\log u}{x}} \;. $}$
Dies ist eine trennbare Gleichung. Es ergibt sich aus
$ \mbox{$\displaystyle \displaystyle\int {\displaystyle\frac{1}{u\log u}}\,{\mbox{d}}u \;=\; \displaystyle\int {\displaystyle\frac{1}{x}}\,{\mbox{d}}x \;, $}$
daß
$ \mbox{$\displaystyle \log\log u \;=\; \log x+c $}$
mit einer Konstanten $ \mbox{$c\in\mathbb{R}$}$, und daher
$ \mbox{$\displaystyle u \;=\; \exp(Cx) $}$
mit einer Konstanten $ \mbox{$C\in\mathbb{R}$}$, und schließlich
$ \mbox{$\displaystyle y \;=\; x\exp(Cx) \;. $}$

Das Richtungsfeld und die Lösung durch den Punkt $ \mbox{$(1,0.5)$}$.

\includegraphics[width=10cm]{s2_homogen.eps}