Lösung.

(1)
Es wird $ \mbox{$\int_0^{\pi/2}\sin x\,{\mbox{d}}x = [-\cos x]_0^{\pi/2} = 1$}$.
(2)
Mit der Substitution $ \mbox{$x=\sin u$}$ und $ \mbox{${\displaystyle\frac{{\mbox{d}}x}{{\mbox{d}}u}} = \cos u$}$ wird
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \displaystyle\int _0^1\arcsin x\,{\mb... ... &=& \pi/2-[-\cos u]_0^{\pi/2}\vspace*{2mm}\\ &=& \pi/2 -1 \;. \end{array}$}$

(3)
Es wird
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \displaystyle\int _0^{\pi/4}\tan x\,{... ... &=& [-\log u]_1^{\sqrt{2}/2}\vspace*{2mm}\\ &=& (\log 2)/2 \;. \end{array}$}$

(4)
Es wird mit partieller Integration und anschließender Substitution $ \mbox{$u=1+x^2$}$
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \displaystyle\int _0^1 1\cdot\arctan ... ...t([\log u]_1^2\right)/2\vspace*{2mm}\\ &=& \pi/4-(\log 2)/2 \;. \end{array}$}$

(5)
Es ist $ \mbox{$A_1 + B_1$}$ der Flächeninhalt eines Rechtecks mit Seitenlängen $ \mbox{$1$}$ und $ \mbox{$\pi/2$}$, also $ \mbox{$A_1 + B_1 = \pi/2$}$.
\includegraphics [width=12cm,height=8cm]{s1_sin.eps}

Es ist $ \mbox{$A_2 + B_2$}$ der Flächeninhalt eines Rechtecks mit Seitenlängen $ \mbox{$1$}$ und $ \mbox{$\pi/4$}$, also $ \mbox{$A_2 + B_2 = \pi/4$}$.

\includegraphics[width=6cm,height=10cm]{s1_tan.eps}