Die Grenzwertregel von de l'Hospital.

Die Regel von de l'Hôpital dient der Berechnung von Grenzwerten der Form $ \mbox{$\frac{0}{0}$}$ und $ \mbox{$\frac{\ast}{\infty}$}$.

Regel.

Sei $ \mbox{$D\subseteq \mathbb{R}$}$ eine offene Teilmenge, und seien $ \mbox{$f,g: D\longrightarrow \mathbb{R}$}$ differenzierbare Funktionen, sei entsprechend $ \mbox{$x_0\in\bar{D}\backslash D$}$ im Abschluß von $ \mbox{$D$}$, aber nicht in $ \mbox{$D$}$, oder $ \mbox{$x_0 = +\infty$}$ falls $ \mbox{$(a,+\infty)\subseteq D$}$ für ein $ \mbox{$a\in\mathbb{R}$}$, oder $ \mbox{$x_0 = -\infty$}$ falls $ \mbox{$(-\infty,a)\subseteq D$}$ für ein $ \mbox{$a\in\mathbb{R}$}$. Seien

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \lim_{x\to x_0} f(x) & = & 0 \\ \lim_{x\to x_0} g(x) & = & 0\; , \\ \end{array}$}$
oder sei
$ \mbox{$\displaystyle \lim_{x\to x_0} g(x) & = & \pm\infty \; . \\ $}$

Dann gilt

$ \mbox{$\displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} \; =\; \lim_{x\to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} \hspace*{3cm} (\mbox{l'H})\;, $}$
falls der Grenzwert auf der rechten Seite in $ \mbox{$\hat{\mathbb{R}}$}$ existert.

Vorsicht.

Es kann sein, daß $ \mbox{$\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}$}$ existiert, nicht aber $ \mbox{$\lim_{x\to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$}$.

Sei z.B. $ \mbox{$D = (-\frac{1}{2},+\frac{1}{2})$}$, $ \mbox{$x_0 = 0$}$, $ \mbox{$f(x) = (x^{-1} + \cos(x^{-1}))^{-1}$}$, $ \mbox{$g(x) = x$}$. Es ist $ \mbox{$\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$}$. Dagegen existiert wegen

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} f'(x) & = & -(x^{-1} + \cos(x^{-1}))... ...-2})) \\ & = & (1 + x\cos(x^{-1}))^{-2} (1 - \sin(x^{-1})) \\ \end{array}$}$
der Grenzwert $ \mbox{$\lim_{x\to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$}$ nicht.

Skizze von $ \mbox{$f(x)$}$.

\includegraphics [width=10cm]{r_1.eps}

Skizze von $ \mbox{$f(x)/g(x)$}$.

\includegraphics [width=10cm]{r_2.eps}

Skizze von $ \mbox{$f'(x)/g'(x)$}$.

\includegraphics[width=10cm]{r_3.eps}