Lösung.

  1. Mit l'Hôpital im Fall $ \mbox{$\frac{0}{0}$}$ wird
    $ \mbox{$\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} \;=\;  \lim_{x\to 0} \frac{\cos x}{1} \;=\; \frac{\cos 0}{1} \;=\; 1 \;, $}$
    da der zweite Grenzwert existiert.

  2. Durch dreifache Anwendung von l'Hôpital im Fall $ \mbox{$\frac{0}{0}$}$ wird
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \lim_{x\to 0} \frac{\sin x-x}{x^3} &... ..._{x\to 0} \frac{-\cos x}{6}\vspace*{2mm}\\ &=& -\frac{1}{6}\; , \end{array}$}$
    da die Grenzwerte auf der rechten Seite jeweils existieren.

    Alternativ kann man dies auch mithilfe der Potenzreihenentwicklung von $ \mbox{$\sin x$}$ um $ \mbox{$x_0=0$}$ zeigen.

  3. Durch dreifache Anwendung l'Hôpital im Fall $ \mbox{$\frac{0}{0}$}$ wird

    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \lim_{x\to 0} \frac{1}{\sin x}-\frac{... ...\to 0} \frac{\sin x}{2\cos x-x\sin x}\vspace*{2mm}\\ &=& 0 \; . \end{array}$}$

  4. Es wird
    $ \mbox{$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{x+\sin x}{x} \;=\; 1+\lim_{x\to +\infty} \frac{\sin x}{x} \;=\; 1\;. $}$
    Wir können die Regel von l'Hôpital hier nicht anwenden, denn
    $ \mbox{$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{(x+\sin x)'}{x'} \;=\; \lim_{x\to +\infty} \frac{1+\cos x}{1} $}$
    existiert nicht.