Lösung.

(1)
In Abhängigkeit von der Zeit beträgt die Vertikalgeschwindigkeit $ \mbox{$v_0\sin\varphi - gt$}$, woraus sich die Flughöhe $ \mbox{$v_0(\sin\varphi ) t - gt^2/2$}$ und der Aufprallzeitpunkt zu $ \mbox{$t_1 = 2 v_0 g^{-1}\sin\varphi $}$ berechnet. In dieser Zeit wird die horizontale Strecke
$ \mbox{$\displaystyle S(\varphi )\; =\; 2 v_0^2 g^{-1}(\sin\varphi )(\cos\varphi ) $}$
zurückgelegt. Für die Randpunkte $ \mbox{$\varphi = 0$}$ und $ \mbox{$\varphi = \pi/2$}$ haben wir lokale Minima vorliegen. Notwendig für Maximalität ist also
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} 0 & = & S'(\varphi ) \\ & = & 2 v_... ...i )^2) \\ & = & 2 v_0^2 g^{-1} (1 - 2(\sin\varphi )^2)\; , \\ \end{array}$}$
d.h. $ \mbox{$\varphi = \pi/4$}$. Anhand von $ \mbox{$S''(\varphi ) = - 8 v_0^2 g^{-1} (\sin\varphi )(\cos\varphi )$}$, und also von $ \mbox{$S''(\pi/4) < 0$}$, erkennt man, daß in der Tat ein Maximum vorliegt. Die maximale Wurfweite ist
$ \mbox{$\displaystyle S(\pi/4) \; =\; \frac{v_0^2}{g}\; . $}$

(2)
Der Aufprallzeitpunkt ist wie in (1) weiterhin $ \mbox{$t_1 = 2 v_0 g^{-1}\sin\varphi $}$. Schreiben wir die Ableitung nach der Zeit mit einem aufgestellten Punkt und die Wegstrecke als $ \mbox{$s$}$, so ergibt sich die Horizontalgeschwindigkeit $ \mbox{$\dot s$}$ aus $ \mbox{$m\ddot s = -c \dot s^2$}$ zu
$ \mbox{$\displaystyle \dot s = m/(c(t-t_0)) \; , $}$
wobei $ \mbox{$t_0$}$ aus $ \mbox{$\dot s(0) = - m/(c t_0) = v_0\cos\varphi $}$ zu
$ \mbox{$\displaystyle t_0\; =\; -\frac{m}{c(v_0\cos\varphi )} $}$
resultiert. Also wird
$ \mbox{$\displaystyle \dot s = \frac{v_0\cos\varphi }{1 + \frac{c}{m}\, t v_0\cos\varphi } \; . $}$
Die zurückgelegte Wegstrecke zum Zeitpunkt $ \mbox{$t_1$}$ ergibt sich zu
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} S(\varphi ) & = & \frac{m}{c}\log(1 ... ...\log(1 + \frac{2v_0^2 c}{gm}\, \sin\varphi \cos\varphi )\; . \\ \end{array}$}$
Daraus erhalten wir
$ \mbox{$\displaystyle S'(\varphi ) \; = \; \frac{m}{c} \left(1 + \frac{2v_0^2... ...os\varphi \right)^{-1} \cdot \frac{2v_0^2 c}{gm} (1 - 2(\sin\varphi )^2)\; , $}$
und also wiederum ein Maximum bei $ \mbox{$\varphi = \pi/4$}$. Die maximale Wurfweite ist etwas kürzer, nämlich
$ \mbox{$\displaystyle S(\pi/4) \; =\; \frac{m}{c}\log\left(1 + \frac{v_0^2 c}{gm}\right) \;\approx\; \frac{v_0^2}{g} - \frac{v_0^4 c}{2g^2m} \; . $}$
Sei an dieser Stelle nochmal darauf hingewiesen, daß dieses Resultat unter der vereinfachenden Annahme, der Luftwiderstand wirke nur horizontal und hänge auch nur von der Horizontalgeschwindigkeit ab, hergeleitet wurde.