Lösung.

Es ist $ \mbox{$f'(x) = (x^x)' = (\exp(x\log x))' = (\log x + 1)\exp(x\log x)$}$. Ferner wird $ \mbox{$f''(x) = ((\log x + 1)\exp(x\log x))' = (x^{-1} + (\log x + 1)^2)\exp(x\log x)$}$.

Die erste Ableitung geht für $ \mbox{$x\to 0$}$ gegen $ \mbox{$-\infty$}$, also liegt beim Randpunkt $ \mbox{$x = 0$}$ eine lokale (keine globale) Maximalstelle vor, mit dem Wert $ \mbox{$f(0) = 1$}$.

Das notwendige Kriterium für ein lokales Extremum bei einem inneren Punkt lautet $ \mbox{$f'(x) = 0$}$, dies ist bei $ \mbox{$x = e^{-1}$}$ erfüllt. Da $ \mbox{$f''(e^{-1}) = \exp(1-e^{-1}) > 0$}$, liegt ein lokales Minimum vor. Eine Betrachtung von $ \mbox{$f'$}$ zeigt, daß die Funktion $ \mbox{$f$}$ auf $ \mbox{$[0,e^{-1}]$}$ streng monoton fällt, während sie auf $ \mbox{$[e^{-1},\infty)$}$ streng monoton wächst.

Skizze.

\includegraphics[width=10cm]{l1.eps}