Aufgabe.

Berechne unter Zuhilfenahme der Exponentialfunktion folgende Ausdrücke. Hierbei sei $ \mbox{$z\in\mathbb{C}$}$ beliebig.

(1)
$ \mbox{$(\sin z)^2 + (\cos z)^2$}$. Ergebnis konstant in $ \mbox{$z$}$.
(2)
$ \mbox{$(\cosh z)^2 - (\sinh z)^2$}$. Ergebnis konstant in $ \mbox{$z$}$.
(3)
$ \mbox{$(\cos z)^n$}$, $ \mbox{$n\geq 1$}$. Ergebnis als Linearkombination von Termen der Form $ \mbox{$\cos(mz)$}$, $ \mbox{$m\geq 1$}$, und einem konstanten Term.
(4)
$ \mbox{$\cos(6z)$}$. Ergebnis als Polynom in $ \mbox{$\cos z$}$.
(5)
$ \mbox{$\cos(nz)$}$, $ \mbox{$n\geq 1$}$. Ergebnis als Polynom in $ \mbox{$\cos z$}$.