Lösung.

In allen vier Teilaufgaben ist die Folge $ \mbox{$a_n$}$ eine monoton fallende Folge ab einem geeigneten $ \mbox{$n_0$}$. Nach dem Cauchyschen Verdichtungskriterium können wir jeweils die Reihe $ \mbox{$\sum_n 2^n a_{2^n}$}$ betrachten.

  1. Es ist $ \mbox{$2^n a_{2^n}=\frac{2^n}{(2^n)^\alpha}=(2^{1-\alpha})^n$}$. Die geometrische Reihe $ \mbox{$\sum_n (2^{1-\alpha})^n$}$ konvergiert für $ \mbox{$\alpha>1$}$ und divergiert für $ \mbox{$\alpha\leq 1$}$. Also gilt dies auch für die Reihe $ \mbox{$\sum_n a_n$}$.
  2. Es ist $ \mbox{$2^n a_{2^n}=\frac{2^n}{2^n(\log(2^n))^\alpha}=\frac{1}{(\log 2)^\alpha n^\alpha}$}$. Nach Teil 1 konvergiert die Reihe $ \mbox{$\sum_n \frac{1}{n^\alpha}$}$ für $ \mbox{$\alpha>1$}$ und divergiert für $ \mbox{$\alpha\leq 1$}$. Also gilt dies auch für die Reihe $ \mbox{$\sum_n a_n$}$.

  3. Es wird
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} 2^n a_{2^n} &=& \frac{2^n}{2^n\log(2^... ...1mm}\\ &=& \frac{1}{(\log 2) n (\log n+\log\log 2))^\alpha}\; . \end{array}$}$
    Ferner gilt $ \mbox{$\log\log 2\leq 0$}$ und $ \mbox{$\log\log 2\geq -\frac{1}{2}\log n$}$ für $ \mbox{$n\geq 3$}$. Also können wir diesenfalls den Summanden $ \mbox{$2^n a_{2^n}$}$ abschätzen durch
    $ \mbox{$\displaystyle \frac{1}{(\log 2) n (\log n)^\alpha} \;\leq\; 2^n a_{2^n} \;\leq\; \frac{1}{(\log 2) n (\frac{1}{2}\log n)^\alpha}\; . $}$
    Nach dem Majorantenkriterium und Teil 2 erhalten wir Konvergenz für $ \mbox{$\alpha>1$}$ und Divergenz für $ \mbox{$\alpha\leq 1$}$.

  4. Es wird
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} 2^n a_{2^n} &=& \frac{2^n}{2^n\log(2^... ...) n (\log n+\log\log 2) (\log(\log n+\log\log 2))^\alpha}\; .\\ \end{array}$}$
    Ferner gilt $ \mbox{$\log\log 2\leq 0$}$, $ \mbox{$\log\log 2\geq -\frac{1}{2}\log n$}$ für $ \mbox{$n\geq 3$}$ und $ \mbox{$-\log 2\geq -\frac{1}{2}\log\log n$}$ für $ \mbox{$n\geq 55$}$. Also können wir diesenfalls den Summanden $ \mbox{$2^n a_{2^n}$}$ abschätzen durch
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \frac{1}{(\log 2) n (\log n) (\log\lo... ... 2) n (\frac{1}{2}\log n)(\frac{1}{2}\log\log n)^\alpha}\; . \\ \end{array}$}$
    Nach dem Majorantenkriterium und Teil 2 erhalten wir Konvergenz für $ \mbox{$\alpha>1$}$ und Divergenz für $ \mbox{$\alpha\leq 1$}$.

(Später mit Integralkriterium kürzer lösbar.)