Lösung.

Sei $ \mbox{$\varepsilon = 1$}$ gewählt, und sei $ \mbox{$\delta > 0$}$ vorgegeben. Wähle $ \mbox{$z\in (0,1/2]$}$ mit $ \mbox{$z < \delta$}$ und wähle $ \mbox{$w := 2z\in (0,1]$}$. Dann ist $ \mbox{$\vert z - w\vert < \delta$}$ und

$ \mbox{$\displaystyle \left\vert\frac{1}{z} - \frac{1}{w}\right\vert \; = \; \frac{1}{2z} \;\geq\; 1\; . $}$

Die Funktion kann mithin die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit nicht erfüllen. Sie ist aber nichtsdestoweniger stetig auf $ \mbox{$(0,1]$}$.