Lösung.

Wir zeigen zunächst, daß höchstens eine Lösung existieren kann. In der Tat ist $ \mbox{$f(x) := x + (- e^{-x})$}$ als Summe zweier streng monoton wachsender Funktionen selbst streng monoton wachsend, und somit injektiv.

Nun ist $ \mbox{$f(0) = -1$}$ und $ \mbox{$f(1) = 1 - e^{-1} > 0.5$}$. Da $ \mbox{$f$}$ stetig ist, gibt es nun nach dem Zwischenwertsatz ein $ \mbox{$x\in [0,1]$}$ mit $ \mbox{$f(x) = 0$}$.

Genauer, es ist $ \mbox{$f(0.5) = -0.1065306597\dots$}$ und $ \mbox{$f(0.6) = 0.0511883639\dots$}$, und daher $ \mbox{$x = 0.5\dots$}$.