Lösung.

  1. Wir betrachten
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \lim_{x\to 0+}(1/x)\;=\;+\infty &\Lon... ...x)\;=\;-\infty &\Longrightarrow & \lim_{x\to 0-} e^{1/x}\;=\;0\;. \end{array}$}$
    Daher divergiert $ \mbox{$f(x)$}$ für $ \mbox{$x\to 0$}$.

  2. Es gilt $ \mbox{$\lim_{x\to 0}(-1/x^2)\;=\;-\infty$}$ und $ \mbox{$\lim_{x\to-\infty} e^x=0$}$. Daraus folgt $ \mbox{$\lim_{x\to 0} e^{-1/x^2}=0$}$.

  3. Wäre die komplexe Funktion $ \mbox{$f(z)$}$ konvergent für $ \mbox{$z\to 0$}$, so wäre wegen $ \mbox{$\mathrm{i}/n\to 0$}$ auch die Folge

    $ \mbox{$\displaystyle (f(\mathrm{i}/n))_n\;=\; (e^{-1/(\mathrm{i}/n)^2})_n\;=\; (e^{n^2})_n $}$
    konvergent für $ \mbox{$n\to\infty$}$. Dies ist nicht der Fall, und somit divergiert $ \mbox{$f(z)$}$ für $ \mbox{$z\to 0$}$.