Lösung.

Zunächst bemerken wir, daß $ \mbox{$e^x \geq 1 + x$}$ für alle $ \mbox{$x\in\mathbb{R}$}$ gilt, und daß daraus $ \mbox{$e^{-x} \leq (1 + x)^{-1}$}$ für $ \mbox{$x \in (-1,\infty)$}$ folgt.

Wir können also für $ \mbox{$x \in (0,1)$}$ nach unten abschätzen durch

$ \mbox{$\displaystyle (e^x - e^{-x})/x \;=\; e^{-x}(e^{2x} - 1)/x\;\geq\; (1-x)((1 + 2x) - 1)/x \; =\; 2(1-x)\; . $}$
Wir können für $ \mbox{$x \in (-\infty,0)$}$ nach unten abschätzen durch
$ \mbox{$\displaystyle (e^x - e^{-x})/x \;=\; e^{-x}(1 - e^{2x})/\vert x\vert\;\geq\; (1-x)(1 - (1 - 2x)^{-1})/\vert x\vert \; =\; 2(1-x)(1-2x)^{-1}\; . $}$

Wir können für $ \mbox{$x \in (0,1/2)$}$ nach oben abschätzen durch

$ \mbox{$\displaystyle (e^x - e^{-x})/x \;=\; e^{-x}(e^{2x} - 1)/x\;\leq\; (1+x)^{-1} ((1 - 2x)^{-1} - 1)/x \; =\; 2(1+x)^{-1}(1-2x)^{-1}\; . $}$
Wir können für $ \mbox{$x \in (-1,0)$}$ nach oben abschätzen durch
$ \mbox{$\displaystyle (e^x - e^{-x})/x \;=\; e^{-x}(1 - e^{2x})/\vert x\vert\;\leq\; (1+x)^{-1} (1 - (1 + 2x))/\vert x\vert \; =\; 2(1+x)^{-1}\; . $}$

Alle diese Schranken gehen gegen $ \mbox{$2$}$ für $ \mbox{$x\to 0\pm$}$. Aus dem Vergleichskriterium folgt nun

$ \mbox{$\displaystyle \lim_{x\to 0}\, (e^x - e^{-x})/x \; = \; 2\; . $}$
(Mit l'Hôpital später kürzer lösbar.)