Lösung.

Wir verwenden die Identität

$ \mbox{$\displaystyle x^n-1\; =\; (x-1)\sum_{\nu=0}^{n-1}x^\nu\; . $}$

Es ergibt sich

$ \mbox{$\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x^n-1}{x-1}\; =\; \lim_{x\to 1}\sum_{\nu=0}^{n-1}x^\nu\; =\; \sum_{\nu=0}^{n-1} 1\; =\; n\; . $}$