Lösung.

  1. Es wird $ \mbox{$\exp(x)=1/\exp(-x)\leq 1/(1-x)$}$ für $ \mbox{$x<1$}$. Daraus ergibt sich
    $ \mbox{$\displaystyle 1+\log(a)/n\; \leq\; \exp(\log(a)/n)\; \leq \; 1/(1-\log(a)/n)\ , $}$
    sofern $ \mbox{$n>\log a$}$. Mit $ \mbox{$\sqrt[n]{a}=\exp(\log(a)/n)$}$ und dem Vergleichskriterium folgt $ \mbox{$\sqrt[n]{a}\to 1$}$ für $ \mbox{$n\to\infty$}$.

  2. Mit
    $ \mbox{$\displaystyle 1 + \log(n)/n\; \leq\; \exp(\log(n)/n)\; \leq \; 1/(1-\log(n)/n) $}$
    bleibt uns für $ \mbox{$\sqrt[n]{n} = \exp(\log(n)/n) \to 1$}$ für $ \mbox{$n\to\infty$}$ mit dem Vergleichskriterium zu zeigen, daß $ \mbox{$\log(n)/n\to 0$}$.

    Es wird aber

    $ \mbox{$\displaystyle 0\;\leq\; \log(n)/n \;\leq\; 2n^{1/2}/n \;=\; 2n^{-1/2} $}$
    für $ \mbox{$n\geq 1$}$, denn es gilt allgemein $ \mbox{$\log x\leq(x^a-1)/a$}$ für $ \mbox{$x>0$}$ und $ \mbox{$a>0$}$. Die Aussage folgt nun mit dem Vergleichskriterium.

  3. Die Aussage trifft zu für $ \mbox{$n = 1$}$. Sei die Aussage für $ \mbox{$n$}$ als richtig angenommen und für $ \mbox{$n+1$}$ zu zeigen. Wir erhalten
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \fbox {{$\mbox{$\left(\frac{n+1}{e}\r... ...box {{$\mbox{$\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n+1}(n+1)e$}$}}\; .\\ \end{array}$}$

  4. Aus (3) folgt nach Potenzieren mit $ \mbox{$1/n$}$ und nach Division durch $ \mbox{$n/e$}$
    $ \mbox{$\displaystyle \sqrt[n]{e}\;\leq\; \frac{\sqrt[n]{n!}}{n/e} \;\leq\; \sqrt[n]{ne}\; , $}$
    und die Aussage folgt mit (1,2) und dem Vergleichskriterium.