Aufgabe.

Zeige.

  1. $ \mbox{$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1\;\;$}$ für $ \mbox{$a>0$}$.
  2. $ \mbox{$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1$}$.
  3. $ \mbox{$\displaystyle\left(\frac{n}{e}\right)^n e\; \leq \; n!\; \leq\; \left(\frac{n}{e}\right)^n ne\;\;$}$ für $ \mbox{$n\geq 1$}$.
  4. $ \mbox{$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n/e}\; =\; 1\;\;$}$ (schwache Form der Stirlingschen Formel).