Wir zeigen zunächst unabhängig vom Wert
die wachsende Monotonie der Folge. Es wird
- (i)
- Wir zeigen die Beschränktheit der Folge, indem wir per Induktion die Aussage
zeigen.
Für
ist dies klar. Sei nun
gegeben, und
zu zeigen.
In der Tat wird
Nach dem Monotoniekriterium konvergiert die Folge
also gegen einen Grenzwert
.
Wir behaupten
.
Aus
folgt
, also
.
- (ii)
- Aus der Monotonie der Folge erhalten wir
für alle
, und somit
Daher ist die Folge nicht nach oben beschränkt. Da sie monoton wächst, divergiert sie bestimmt gegen
.